Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$7 \cdot 6 - 4 \cdot 8$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$42 - 4 \cdot 8$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$42 - 32$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $32$ von $42$ .

$10$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{10} [\begin{array}{c} 6 & - 8 \\ - 4 & 7 \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere $\frac{1}{10}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} \cdot 6 & \frac{1}{10} \cdot - 8 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (5)} \cdot 6 & \frac{1}{10} \cdot - 8 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{10} \cdot - 8 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 3) & \frac{1}{10} \cdot - 8 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} \cdot 3 & \frac{1}{10} \cdot - 8 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10} \cdot - 8 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{2 (5)} \cdot - 8 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 4) \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot - 4 \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{- 4}{5} \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{1}{10} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{1}{2 (5)} \cdot - 4 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 2) & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.6.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{1}{5} \cdot - 2 & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.7

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ \frac{- 2}{5} & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{2}{5} & \frac{1}{10} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \\ - \frac{2}{5} & \frac{7}{10} \end{array}]$